Теория симпатий>

Письмо 1 - введение в теорию Письмо 1 - симпатии интересов Письмо 1 - классификация Письмо 2 - согласия Письмо 2 - размерность

Архив статьи

Теория симпатий - письмо 1 - введение в теорию

Уважаемый Евгений Григорьевич!

Не спешу сообщить тебе мои новости, как не задаю и тебе вопросов о житье-бытье, поскольку письмо это является скорее риторическим, чем реальным, и не предназначено к отсылке. Хотя твое ознакомление с ним не только не исключено, но весьма желательно. А пишу я его, чтобы изложить некую околоматематическую теорию, разработанную мною устно лет 5 назад во время долгих поездок по Талинскому нефтяному месторождению, и названную мною теорией симпатий. Как-то при личной встрече с тобой я пытался рассказать тебе, в чем там суть, но получилось нечто бледноватое. А ведь когда все это придумывалось, там была куча поэзии. Не знаю, удастся ли мне восстановить это впечатление в данном письме, но попытаться стоит. А эпистолярность формы сего труда истекает из того, что не смотря на математическую строгость основных положений, в приложениях, в примерах очень много беллетристики. И с кем же я могу поговорить на чисто математическую тему кроме тебя?

Теория эта относится к теории множеств, хотя пересекается с теорией графов и, возможно, ее можно использовать для построения модели квантованного пространства (а это, как ты знаешь, голубая мечта моего студенческого возраста). Не исключено, что ничего принципиально нового в ней нет, тем более, что я не занимаюсь математикой профессионально. Впрочем, в твоем лице я вижу такого же начитанного дилетанта, как и я сам. К тому же я помню твои попытки объяснить основы теории групп вагонным попутчикам. Может быть, в какой-то мере, и эта моя попытка пофантазировать на интимно-математические темы является такой же полусерьезной трепотней. Но строгость я все-таки постараюсь соблюсти.

Итак, к делу.

Пусть мы имеем множество M. Если на этом множестве задано некоторое соответствие между его элементами такое, что для каждого элемента a_i множества M задано подмножество M_i этого множества, то в этом случае будем говорить, что на множестве M задана симпатия.

Почему симпатия? В частном случае, на множестве людей, мы можем задать такое соответствие в буквальном смысле. Т.е. любой из нас из всего множества окружающих нас индивидов всегда выделяет группу лиц, к которым он относится с некоторой теплотой, которые ему небезразличны. Т.е. множество людей, на котором задано «симпатизирование», по нашему определению является симпатией. Конечно, математическое определение более объемно, чем слова нашего языка, и математической симпатией является также множество людей, на котором задано такое соответствие, как антипатия. Или родственная связь. Или рост (если каждому человеку поставить в соответствие множество людей, более высоких, чем он сам). Или возраст (аналогично). Или пол (мужчина симпатизирует всем женщинам и наоборот). Или пол + возраст ( это когда мы любим только женщин младше себя не менее чем на 3 года, но совершеннолетних).

Как видишь, примеров симпатий можно придумать сколько угодно. И не только на множестве всех людей. Симпатии возможны в любом подмножестве, т.е. коллективе, семье, очереди… Причем не столько в прямом смысле, сколько во всех других: так в коллективе это может быть связано с иерархией подчинения, в очереди естественнее всего было бы определить симпатию, как указание для данного очередника той «спины», за которой он стоит. А это уже наводит на аналогии с числовой осью. Так на множестве целых чисел для числа n ставим в соответствие число n+1. Т.е. упорядочиваем это множество. В этом смысле симпатия представляет из себя множество, упорядоченное каким-либо образом, причем для каждого элемента задается целая группа элементов, «следующих» за ним. А это уже включает в симпатии и такие объекты, как графы. Вообще, при здравом рассуждении, симпатии – такие же часто встречающиеся штуки, как и сами множества, причем задание соответствия между элементами делает симпатии более интересными, чем просто множества. Это не просто наборы элементов, а организованные наборы с отношениями порядка между элементами. Поэтому именно на симпатиях легко задается такое понятие, как расстояние между элементами. Но об это чуть позже.

А теперь попробуем рассмотреть симпатию чуть подробнее, т.е. посмотрим на возможные виды ее элементов. Если в множестве все элементы одинаковы (мы и смогли объединить их в множество, абстрагируясь от различий), то в симпатии возможны различные элементы. Но прежде всего пару слов об обращении соответствия. Если задана симпатия, то на том же множестве можно задать другое соответствие, а именно, для данного элемента a_i выбрать все элементы a_j, такие, что a_i ∈ M_j, т.е. выбрать все элементы «симпатизирующие» данному. Легко видеть, что это другое соответствие также является симпатией. Будем называть ее обратной симпатией.

Это как если бы мы сперва определили всех, в кого мы влюблены, а потом вдруг заинтересовались: а кто на нас заглядывается? Так вот, множество наших поклонников и задает обратную симпатию по отношению к «прямой» симпатии, заданной через множество тех, кому поклоняемся мы. Поэтому если для каждого a_i определено M_i, то можно считать, что для него определено и M'_i – соответствующее подмножество обратной симпатии.

Чувствую, что кое-какие понятия следует уточнить. Прежде всего, само определение симпатии, а то уже сейчас начинается путаница в понятиях.

Итак, симпатией S называется множество M, на котором задано соответствие между элементами, а именно каждому элементу a_i этого множества ставится в соответствие подмножество M_i множества M. При этом подмножество M_i мы будем называть областью интересов элемента a_i. Если элемент a_j входит в область интересов элемента a_i, то будем говорить, что a_i симпатизирует элементу a_j или a_i проявляет интерес к элементу a_j. Обратная симпатия S' по отношению к данной задается на том же множестве M, но соответствие между элементами задается так, что областью интересов M'_i элемента a_i обратной симпатии является такое подмножество множества M, что все его элементы проявляют интерес к элементу a_i в прямой симпатии и ни один из элементов, не входящих в M'_i, не проявляет интереса к a_i.

Таким образом, симпатия S на множестве M представляет из себя множество M плюс множество подмножеств M_i, однозначно связанных с элементами a_i множества M. Т.е. если M можно записать, как {a_i}, то S можно записать, как {a_i, M_i} или {a_i, {a_k}_i}. Таким образом, мы видим, что симпатия на множестве M = {a_i} представляет из себя множество объектов (симпатизирующих элементов), состоящих из элементов множества M и соответствующих этим элементам подмножеств множества M (областей интересов этих элементов). При этом симпатизирующий элемент состоит из собственно элемента и круга его интересов, составляющих как бы подчиненную, «идеологическую» его оболочку. Поэтому имеет смысл говорить об элементе a_i и множестве его интересов, которые являются не «реальными» элементами, а ссылками на них, связями между элементами.

Т.е. мы приходим к простой и естественной графической интерпретации понятия симпатии: будем изображать сами элементы точками (или кружочками), а область интересов элемента стрелками, проведенными от данного элемента ко всем элементам, входящим в круг его интересов. Например:

В такой интерпретации обратная симпатия получается путем изменения направления всех стрелок.

Теперь, наконец, об элементах. Элементы могут отличаться друг от друга прежде всего кругом своих интересов. Если элемент не проявляет интереса ни к одному элементу (т.е. ему поставлено в соответствие пустое множество), то такой элемент мы будем называть пассивным элементом. Если при этом нет также и круга его поклонников, то будем говорить об изолированном элементе или одиночке. Если же пассивный элемент имеет поклонников, то будем называть его тупиком или стоком. Соответственно активным элементом будем называть элемент, проявляющий интерес хотя бы к одному элементу множества. Если активный элемент не имеет поклонников, то этот «гадкий утенок» – исток.

Для каждого элемента введем понятие степени активности или просто активности. Активность – это мощность множества M_i, т.е. количество элементов, к которым элемент a_i проявляет интерес. Кроме того, можно ввести другое число, которое назовем привлекательностью – это мощность множества M'_i, т.е. число поклонников элемента a_i. Таким образом, пассивный элемент – это элемент с нулевой активностью, а изолированный элемент – это элемент, у которого как активность, так и привлекательность равны нулю. «Гадкий утенок» (исток) имеет нулевую привлекательность, но не нулевую активность. Тупик (сток) имеет ненулевую привлекательность, но не проявляет никакой активности.

Кроме того, не все связи (проявления интереса) одинаковы. Назовем самолюбованием проявление интереса к самому себе. Т.е. это тот случай, когда в подмножество M_i, соответствующее элементу a_i, входит сам элемент a_i. В графическом изображении самолюбование выглядит так:

Элементы 2, 4 и 6 проявляют интерес сами к себе, т.е. занимаются самолюбованием. При этом элемент 2 интересуется также элементами 3 и 4 и имеет поклонника 1. Элемент 4 имеет поклонника 2, но проявляет активность только в виде самолюбования. Элемент 6 активен только по отношению к себе, у него единственный поклонник – он сам.

Если какой-либо элемент входит как в область интересов данного элемента, так и в круг его поклонников, т.е. наряду с прямой стрелкой между элементами их соединяет и обратная стрелка, то такая двойная связь будет называться взаимностью. Так на предыдущей диаграмме между элементами 5 и 7 существует взаимность.

Вот, для начала, все, что касается терминологии. Конечно, дальше будут вводиться новые понятия, но я хочу сразу отметить, возможно и дублирование некоторых терминов (это есть уже сейчас, например, сток и тупик). Дело в том, что для данной теории термины берутся в основном из любовно-этической области, но в ряде случаев симпатии больше напоминают потоки, временные или пространственные структуры, поэтому и термины будут браться из соответствующих областей знания.

А теперь проделаем следующую операцию. Для данной симпатии S возьмем ее произвольный элемент a_i, добавим к нему все элементы, входящие в его область интересов M_i и круг поклонников M'_i (вместе они образуют окружение элемента a_i: O_i= M_i ∪ M'_i). К получившемуся множеству добавим (по принципу «или») все элементы, входящие в окружения членов этого множества. Будем повторять эту операцию, пока множество не перестанет увеличиваться (для простоты считаем число элементов симпатии конечным), то есть пока окружения членов этого множества не будут содержать новых элементов, не присутствующих в этом множестве. Получившееся множество элементов является симпатией, входящей в симпатию S. Будем называть ее связной областью, содержащей элемент a_i. Ясно, что если в связную область, содержащую элемент a_i, входит какой-либо другой элемент a_j, то связная область, порожденная этим элементом (a_j), будет содержать и элемент a_i, т.е. будет совпадать со связной областью, содержащей a_i. В общем случае симпатия распадается на несколько непересекающихся связных областей. В частности, любой изолированный элемент также будет отдельной связной областью.

Рассмотрим пару примеров симпатий. Представим себе множество баз или гаражей с транспортом. Они связаны друг с другом дорогами, причем дороги эти с односторонним движением (с двусторонним возможны тоже, но ведь дорога с двусторонним движением – это просто две параллельные дороги с разнонаправленным односторонним движением). Тогда все базы, на которые можно попасть непосредственно с базы a_i (т.е. не заезжая на другие базы) можно считать областью интересов базы a_i, а вся наша гаражно-транспортная модель будет симпатией. Нас интересуют более далекие поездки, чем только в области интересов. Естественно, доехав да любой из баз из области интересов (т.е. до одной из ближайших – в смысле не километража, а количества остановок) и отдохнув, водитель может ехать дальше. В конце концов он окажется в некотором гараже a_j. Множество баз, в которых он побывал, (начиная с a_i)назовем маршрутом, а количество перегонов – длиной этого маршрута. Естественно, попасть из базы a_i в базу a_j можно в общем случае разными маршрутами, а длины этих маршрутов не обязательно должны совпадать. Среди множества маршрутов от a_i до a_j есть маршруты с минимальной длиной. Эту минимальную длину будем называть расстоянием от a_i до a_j. Расстояние от a_i до a_i, т.е. до самого себя, будем считать нулем (хотя в общем случае возможны маршруты из a_i в a_i ненулевой длины – кольцевые маршруты – но, естественно, длина их не минимальна). Заметим, что если существует маршрут из a_i в a_j, то это еще не значит, что существует обратный маршрут из a_j в a_i ,а если он и существует, то расстояние от a_j до a_i не обязано совпадать с расстоянием от a_i до a_j.

В симпатии S могут существовать элементы, для которых не существует маршрута, исходящего из базы a_i. Таким образом, для каждого элемента a_i можно определить область доступности. Это множество, входящее в симпатию S и содержащее только элементы, для которых существуют маршруты, исходящие из элемента a_i.

Если взять обратную симпатию S', то в ней область доступности элемента a_i будет множеством, в некотором смысле симметричным области доступности в симпатии S. Это будет множество элементов симпатии S, для которых элемент a_i находится в области доступности. Назовем это множество областью популярности элемента a_i. Условно область доступности будем обозначать D_i, а область популярности D'_i.

Очевидны следующие соотношения:

a_i ∈ D_i; a_i ∈ D'_i; M_i ⊂ D_i; M'_i ⊂ D'_i.

Если элемент a_j не принадлежит ни к области доступности элемента a_i, ни к его области популярности, то будем говорить, что a_j независим от элемента a_i. Свойство независимости всегда симметрично, т.е. если a_j независим от a_i, то и a_i независим от a_j. В нашей транспортной модели независимость двух баз означает, что невозможен ни прямой, ни обратный маршрут между ними. Однако возможно существование третьих элементов, для которых элементы a_i и a_j находятся либо в области доступности, либо в области популярности. Легко доказывается, что если такой элемент существует, то элементы a_i и a_j находятся в одной и той же связной области. Неверно обратное утверждение, что если не существует ни одного элемента a_k, такого, для которого a_i и a_j принадлежат объединению областей доступности и популярности, то a_i и a_j принадлежат разным областям связности. Это видно из примера симпатии:

Графический вид:		Описание с помощью области интересов:
		a1	M1 = (a2)
		a2	M2 = Ø
		a3	M3 = (a2, a4)
		a4	M4 = Ø
		a5	M5 = (a4)

Здесь ни для одного элемента a₁ и a₅ не находятся одновременно в областях доступности и популярности. Те не менее вся симпатия представляет собой связную область.

Элемент	Область доступности	Область популярности	Область независимости
a1	D1 = (a1, a2)	D'1 = (a1)	N1 = (a3, a4, a5)
a2	D2 = (a2)	D'2 = (a1, a2, a3)	N2 = (a4, a5)
a3	D3 = (a2, a3, a4)	D'3 = (a3)	N3 = (a1, a5)
a4	D4 = (a4)	D'4 = (a3, a4, a5)	N4 = (a1, a2)
a5	D5 = (a4, a5)	D'5 = (a5)	N5 = (a1, a2, a3)

В последнем столбце через N_i обозначено множество элементов симпатии, независимых от элемента a_i. Назовем его областью независимости. Справедливо соотношение

.
Оно и есть определение области независимости.

Теперь второй пример. Пусть мы имеем множество событий. Между некоторыми из этих событий существует причинно-следственная связь. Выделим для каждого из событий множество событий, непосредственно вытекающих из него, и сопоставим это множество данному событию, как область его интересов. Естественно, кругом поклонников каждого события будет множество его непосредственных причин. Поскольку причинно-следственная связь между событиями определяет направление времени в системе, то данный пример показывает аналогию структуры симпатий временным структурам. Область доступности элемента a_i в данной симпатии эквивалентна множеству событий возможного будущего, вытекающего из этого события. А область популярности – это события возможного прошлого. Объединение этих двух областей – доступности и популярности или, что то же, будущего и прошлого – образует конус времени для данного события. Понятие конуса времени взято из теории относительности и очень близко ему по смыслу. Все события, лежащие вне конуса времени, абсолютно независимы от события a_i. Это справедливо как в нашей теории, так и в теории относительности.

Для событий, лежащих в конусе времени, можно ввести временную шкалу. Интервалом времени t_ij от события a_i до события a_j будем считать длину маршрута между этими событиями, если a_j лежит в будущем события a_i. Если a_j находится в прошлом события a_i, то t_ij = –t_ji, т.е. промежуток времени от a_i до a_j равен взятому с обратным знаком промежутку от a_j до a_i. Расстояние в обратную сторону мы не определяли, просто говорили: обратно проехать нельзя. Т.к. для времени «обратный проезд» запрещен более естественно, то отрицательное время носит более очевидный формальный характер и означает время, прошедшее с прошлого момента до настоящего, а вовсе не от настоящего до прошлого, «но в обратную сторону», как можно было бы говорить для пространства.

Если разбить конус времени на множества, для которых величина t_ij принимает одно и то же значение, то так мы можем ввести понятие одновременности для разных событий. Заметим, что одновременность нами вводится только относительно некоторого базового события a_i, относительно которого построен конус времени. Относительно другого базового события, т.е. в другом конусе времени, два события, одновременные для a_i, могут оказаться неодновременными. Это также близко к идеям релятивизма. Будем говорить, что множество одновременных событий – это поколение относительно события a_i, причем номер этого поколения равен промежутку времени от события a_i. Так само событие составляет нулевое поколение, круг его интересов – первое поколение, круг поклонников – минус первое поколение и т.д. Ясно также, что для положительных поколений, если существует n-е поколение, то всегда существует и n−1-е поколение, а для отрицательных, если существует поколение с номером –n, то всегда поколение с номером –n+1 не пусто. Т.е. другими словами смена поколений не имеет разрывов. Нельзя родиться, не имея родителей, а имея только дедов (но, в нашей теории, можно родиться вообще из ничего – это для события, не имеющего прошлого).

Заметим, что интервал времени между двумя событиями a_i и a_j зависит от маршрута между этими событиями, т.е. определен неоднозначно. Событие может находиться в n-м поколении и в k-м поколении, если к нему ведут маршруты длиной n и k. Т.е. в общем случае поколения пересекаются. Если событие a_j принадлежит двум поколениям, то и все его следствия будут также принадлежать двум поколениям (в нашем случае n+1 и k+1), и все их области доступности будут также удваиваться в поколениях. Такая многозначность будущего имеет только тот смысл, что мы, говоря об области доступности, говорим о возможном будущем, а его конкретная реализация – это конкретный маршрут в этой области. Проиллюстрировать это положение можно следующей житейской фразой: «Я мог бы жениться на этой женщине в молодости, но не женился до сих пор; впрочем, все еще может случиться, и наш брак еще возможен со всеми вытекающими последствиями».

Кроме того, появление одного и того же события возможно не только в разных поколениях, но несколько раз на одном и том же маршруте. Это вытекает из возможности кольцевых маршрутов. В жизни это тоже бывает: «Он женился в третий раз и опять на той же».

Существование кольцевых маршрутов ставит вопрос о периодичности появления событий в цепи поколений. Ясно, что если событие вытекает из самого себя (что мы назвали самолюбованием), то оно будет присутствовать во всех поколениях от −∞ до +∞. Поэтому самолюбование можно считать свойством, определяющим стабильность элемента. Если же событие находится на единственном кольцевом маршруте, то оно будет появляться в поколениях с периодом, равным длине этого маршрута. Присутствие же события на нескольких кольцевых маршрутах ведет к тому, что период появления этого события в цепи поколений равен наибольшему общему делителю длин этих маршрутов. Так, например, если событие a_j лежит на двух кольцевых маршрутах длиной 6 и 15, то периодичность его появления равна 3, а если длины кольцевых маршрутов равны 9 и 13, то событие будет присутствовать в каждом поколении (н.о.д.(9,13)=1). Достаточно очевидны следующие соотношения:

если a_j ∈ D_i, то D_j ⊂ D_i, D'_i ⊂ D'_j;

если a_j ∈ D'_i, то D_i ⊂ D_j, D'_j ⊂ D'_i.

Другими словами, завтрашнее будущее составляет только часть сегодняшнего будущего, зато завтрашнее прошлое целиком включает в себя сегодняшнее прошлое.

Из этих соотношений вытекает интересный вывод: если событие расположено на кольцевом маршруте, то при движении по кольцу ни прошлое, ни будущее не изменяются. Порядок расположения событий в поколениях может измениться, но будущее, как множество событий, включает те же самые события для любого «сегодня», лежащего на кольце. В этом смысле петля времени лежит вне течения времени, это своеобразная остановка времени.

Поэтому для симпатий, включающих кольцевые маршруты, можно ввести операцию раскольцевания. Раскольцованная симпатия получается из данной симпатии путем замены всех кольцевых маршрутов на элементы, имеющие область интересов, являющуюся объединением областей интересов всех элементов, входящих в кольцо. Путем такой замены всех «коллективов» на «юридических лиц» мы можем получить симпатию, избавленную от «круговой поруки». В такой симпатии движение к будущему всегда уменьшает перспективы и увеличивает опыт, если этими словами можно передать движение во времени. Операция раскольцевания является частным случаем применения операции сокращения симпатии. Сокращением симпатии называется замена какого-либо подмножества симпатии на новый ее элемент, область интересов которого является объединением областей интересов элементов заменяемого подмножества, причем эта замена производится не только в самой симпатии, как в множестве элементов, но и во всех областях интересов. Т.е. в каждой области интересов ссылки на элементы, содержащиеся в заменяемом множестве, заменяются ссылкой на новый элемент.

Более строго, операция раскольцевания включает следующие этапы:

1. Выделение из данной симпатии S множества всех элементов, лежащих на кольцевых маршрутах с удалением из областей интересов этих элементов ссылок на элементы, не входящие в это множество. Таким образом, мы получим симпатию S_r, состоящую из элементов, лежащих на кольцевых маршрутах. Эта операция – получение симпатии на подмножестве исходной симпатии с сохранением «внутренних» ссылок – называется усечением и будет подробно рассмотрена позднее.

2. Разбиение полученной симпатии S_r на связные области. Назовем их циклическими связными областями.

3. Сокращение исходной симпатии S путем замены множеств элементов каждой из циклических связных областей симпатии S_r на новый элемент с соответствующим объединением областей интересов.

4. Удаление из всех областей интересов элементов полученной симпатии ссылок на сам этот элемент (удаление связей самолюбования).

Операция сокращения симпатии – это и есть, собственно, замена «коллектива» на «юридическое лицо». Она позволяет получить более простую по структуре симпатию, в которой изменения (упрощения) затронули только не интересные в настоящий момент области (сокращаемые множества), а все связи, вся иерархия в остальных частях симпатии полностью совпадают с исходной. Ведь это же самое мы делаем на каждом шагу в таких сложных структурах, как экономика, политическое устройство и т.д., добиваясь упрощения этой структуры (вернее, ее формальной модели) и повышения управляемости. Сокращение симпатии – это абстрагирование от внутреннего устройства отдельных частей сложной системы и манипулирование этими частями как цельными неделимыми объектами. Так, директор завода в процессе управления непроизвольно сокращает доставшуюся ему в управление сложную систему (которая является целой совокупностью симпатий на множестве людей) и управляет не каждым человеком в отдельности, а целыми цехами, отделами. Причем часть коллектива завода в его сознании остается на уровне отдельных личностей, часть же объединяется в группы от бригад да цехов. К некоторым бригадам приковано более пристальное внимание, а некоторые «не имеют значения», как отдельные единицы в его сознании. На внешнем же уровне он обращается к таким структурам, как заводы, объединения, министерства, даже государства, хотя и там есть отдельные люди и связи между ними. И значимость этих людей для конкретного руководителя не всегда совпадает с их должностным положением. Так он может не выделять министра соседнего министерства, как личность – для него это министерство все целиком является «поставщиком такого-то узла», но может запомнить секретаря важного человека или снабженца из другого города, как субъектов, обладающих определенными и весьма важными для дела связями и возможностями. Модель, с которой работает этот директор, и является «сокращенной» симпатией, которая, будучи несокращенной, не поддается не только управлению, но и обозрению.